Sistem bilangan

Sistem bilangan numerik adalah sebuah simbol atau kumpulan dari simbol yang merepresentasikan sebuah angka. Numerik berbeda dengan angka. Simbol "11", "sebelas" and "XI" adalah numerik yang berbeda, tetapi merepresentasikan angka yang sama yaitu sebelas.

Artikel ini akan menjelaskan beberapa sistem numerik. Secara garis besar terdapat dua sistem numerik, yaitu sistem numerik berdasarkan penambahan (english: addition) dan sistem numerik berdasarkan posisi (eng. position).

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.

2⁰=1
2¹=2
2²=4
2³=8
2⁴=16
2⁵=32
2⁶=64
dst

Perhitungan

Desimal	Biner (8 bit)
0	0000 0000
1	0000 0001
2	0000 0010
3	0000 0011
4	0000 0100
5	0000 0101
6	0000 0110
7	0000 0111
8	0000 1000
9	0000 1001
10	0000 1010
11	0000 1011
12	0000 1100
13	0000 1101
14	0000 1110
15	0000 1111
16	0001 0000

Perhitungan dalam biner mirip dengan menghitung dalam sistem bilangan lain. Dimulai dengan angka pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal, perhitungan mnggunakan angka 0 hingga 9, sedangkan dalam biner hanya menggunakan angka 0 dan 1.
contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner
desimal = 10.
berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8 (2³), selanjutnya hasil pengurangan 10-8 = 2 (2¹). sehingga dapat dijabarkan seperti berikut
10 = (1 x 2³) + (0 x 2²) + (1 x 2¹) + (0 x 2⁰).
dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010
dapat juga dengan cara lain yaitu 10 : 2 = 5 sisa 0 (0 akan menjadi angka terakhir dalam bilangan biner), 5(hasil pembagian pertama) : 2 = 2 sisa 1 (1 akan menjadi angka kedua terakhir dalam bilangan biner), 2(hasil pembagian kedua): 2 = 1 sisa 0(0 akan menjadi angka ketiga terakhir dalam bilangan biner), 1 (hasil pembagian ketiga): 2 = 0 sisa 1 (1 akan menjadi angka pertama dalam bilangan biner) karena hasil bagi sudah 0 atau habis, sehingga bilangan biner dari 10 = 1010
atau dengan cara yang singkat
10:2=5(0),
5:2=2(1),
2:2=1(0),
1:2=0(1) sisa hasil bagi dibaca dari belakang menjadi 1010

Sistem oktal, berbasis 8,

Sistem Numerik Berdasarkan Penambahan

Sistem numerik yang paling sederhana adalah Sistem numerik unary. Sistem ini sering dipakai untuk melakukan pemilihan pada suatu voting. Contoh dari Sistem numerik Unary adalah Tally mark. Kerugiann penggunaan dari sistem numerik Unary adalah sistem ini membutuhkan tempat yang besar.

Selain sistem numerik unary, contoh lain dari sistem numerik berdasarkan penambahan adalah angka Romawi.

I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

Angka Romawi dituliskan dengan simbol dari angka yang tersedia kemudian ditambahkan atau dikurangkan.

Sebagai contoh adalah 1970 disimbolkan dalam angka romawi dengan MCMLXX. Simbol M merepresentasikan angka 1000. Simbol CM merepresentasikan 900, hal ini dikarenakan oleh peraturan dalam penulisan angka romawi, yang tidak diperkenakan pengulangan suatu simbol lebih dari tiga kali. Jadi apabila 900 dituliskan dengan simbol DCCCC maka penulisan tersebut salah. Simbol C disebelah kiri atau sebelum M merupakan angka pengurang dari angka sesudahnya, jadi CM = 1000-100 = 900. Simbol selanjutnya adalah LXX yang melambangkan angka 70.

Angka Romawi ini digunakan di Eropa sampai dengan abad ke 15. Kekurangan dari sistem ini adalah tidak adanya angka Nol.

Sistem Numerik Berdasarkan Posisi

Di dalam sistem numerik ini, penulisan angka berdasarkan posisi dan basis. Posisi suatu angka dalam sistem ini menentukan nilai dari bilangan yang diwakilinya. Maka notasi yang digunakan disebut notasi posisional. Sistem numerik berdasarkan posisi yang sangat terkenal dan dipakai paling luas adalah sistem bilangan desimal. Sistem desimal ini merupakan sistem numerik berdasarkan posisi yang berbasis 10. Simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah bagian dari sistem desimal. Sebagai contoh 612, angka ini berarti:

2 × 10⁰ = 2 × 1 = 2

1 × 10¹ = 1 × 10 = 10

6 × 10² = 6 × 100 = 600

Basis eksponen

Selain sistem desimal yang digunakan sehari-hari, terdapat pula sistem lainnya, yaitu:

Sistem biner, berbasis 2,

Oktal

Oktal atau sistem bilangan basis 8 adalah sebuah sistem bilangan berbasis delapan. Simbol yang digunakan pada sistem ini adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Konversi Sistem Bilangan Oktal berasal dari Sistem bilangan biner yang dikelompokkan tiap tiga bit biner dari ujung paling kanan (LSB atau Least Significant Bit).

Biner	Oktal
000 000	00
000 001	01
000 010	02
000 011	03
000 100	04
000 101	05
000 110	06
000 111	07
001 000	10
001 001	11
001 010	12
001 011	13
001 100	14
001 101	15
001 110	16
001 111	17

Sistem heksadesimal, berbasis 16,

Heksadesimal

Heksadesimal atau sistem bilangan basis 16 adalah sebuah sistem bilangan yang menggunakan 16 simbol. Berbeda dengan sistem bilangan desimal, simbol yang digunakan dari sistem ini adalah angka 0 sampai 9, ditambah dengan 6 simbol lainnya dengan menggunakan huruf A hingga F. Nilai desimal yang setara dengan setiap simbol tersebut diperlihatkan pada tabel berikut:


0_hex	=	0_dec	=	0_oct	0	0	0	0
1_hex	=	1_dec	=	1_oct	0	0	0	1
2_hex	=	2_dec	=	2_oct	0	0	1	0
3_hex	=	3_dec	=	3_oct	0	0	1	1

4_hex	=	4_dec	=	4_oct	0	1	0	0
5_hex	=	5_dec	=	5_oct	0	1	0	1
6_hex	=	6_dec	=	6_oct	0	1	1	0
7_hex	=	7_dec	=	7_oct	0	1	1	1

8_hex	=	8_dec	=	10_oct	1	0	0	0
9_hex	=	9_dec	=	11_oct	1	0	0	1
A_hex	=	10_dec	=	12_oct	1	0	1	0
B_hex	=	11_dec	=	13_oct	1	0	1	1

C_hex	=	12_dec	=	14_oct	1	1	0	0
D_hex	=	13_dec	=	15_oct	1	1	0	1
E_hex	=	14_dec	=	16_oct	1	1	1	0
F_hex	=	15_dec	=	17_oct	1	1	1	1

Konversi

Konversi dari heksadesimal ke desimal

Untuk mengkonversinya ke dalam bilangan desimal, dapat menggunakan formula berikut:
Dari bilangan heksadesimal H yang merupakan untai digit

h n h n - 1 ... h 2 h 1 h 0

, jika dikonversikan menjadi bilangan desimal D, maka:

$D = \sum_{k=0}^{n} h_k \times 16^k$

Sebagai contoh, bilangan heksa 10E yang akan dikonversi ke dalam bilangan desimal:

Digit-digit 10E dapat dipisahkan dan mengganti bilangan A sampai F (jika terdapat) menjadi bilangan desimal padanannya. Pada contoh ini, 10E diubah menjadi barisan: 1,0,14 (E = 14 dalam basis 10)
Mengalikan dari tiap digit terhadap nilai tempatnya.

$1 \times 16^2 + 0 \times 16^1 + 14 \times 16^0$

= 256 + 0 + 14

= 270

Dengan demikian, bilangan 10E heksadesimal sama dengan bilangan desimal 270.

Konversi dari desimal ke heksadesimal

Sedangkan untuk mengkonversi sistem desimal ke heksadesimal caranya sebagai berikut (kita gunakan contoh sebelumnya, yaitu angka desimal 270):

 270 dibagi 16 hasil:  16   sisa 14  ( = E )
  16 dibagi 16 hasil:   1   sisa  0  ( = 0 )
   1 dibagi 16 hasil:   0   sisa  1  ( = 1 )

Dari perhitungan di atas, nilai sisa yang diperoleh (jika ditulis dari bawah ke atas) akan menghasilkan : 10E yang merupakan hasil konversi dari bilangan desimal ke heksadesimal itu.

Sistem seksagesimal, berbasis 60,

Seksagesimal

Seksagesimal adalah sistem bilangan yang menggunakan angka 60 sebagai dasarnya. Sistem ini berasal dari Babilonia kuno. Sistem ini kemudian digunakan dalam bentuk yang lebih modern oleh orang-orang Arab di zaman Kekhalifahan Umayyad. Basis 60 memiliki kelebihan di mana basisnya memiliki pembagi gampang yang banyak {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30}, memungkinkan perhitungan dengan bilangan pecahan. Perhatikan bahwa 60 adalah angka terkecil yang dapat dibagi oleh 1, 2, 3, 4, dan 5.

dan sistem numerik berbasis lainnya.

Seluruh sistem di atas menggunakan eksponen. Berarti setiap angka pada posisi tertentu, nilainya adalah sebesar angka tersebut dikalikan basisnya dipangkatkan posisinya.

$a_na_{n-1}...a_2a_1a_0 = \sum^{n}_{i=0}a_i\times b^{i}$

Faktoradik

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Faktoradik

Faktoradik

Faktoradik adalah sebuah sistem bilangan yang setiap posisi angka memiliki basis sesuai dengan faktorial dari posisinya. Sistem bilangan ini memungkinkan untuk membangkitkan permutasi dalam urutan leksikografik. Faktoradik memiliki bentuk deretan bilangan a_n...a₄a₃a₂a₁a₀, dengan setiap bilangan a_i bersifat:

$a_i \in \mathbb{N}$

dan

$0 \leq a_i \leq i$

Nilai faktoradik

Nilai sebuah faktoradik a_n...a₄a₃a₂a₁a₀ dapat dengan mudah didapat menggunakan formula:

$\sum_{i=0}^n a_i.i!$

Sebagai contoh, bilangan 2,1,1,1,0
Posisi setiap bilangan, sama seperti pada sistem bilangan posisional lainnya, dinomori mulai dari 0 dari sebelah kanan.

Bilangan ke	5	4	3	2	1	0
Bilangan	0	2	1	1	1	0
Faktorial	120	24	6	2	1	1

Sehingga nilainya adalah sebesar: 2×4! + 1×3! + 1×2! + 1×1! + 0×0! = 57
Di bawah ini adalah daftar 24 faktoradik pertama beserta nilainya:

Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai
0, 0, 0, 0	0	1, 0, 0, 0	6	2, 0, 0, 0	12	3, 0, 0, 0	18
0, 0, 1, 0	1	1, 0, 1, 0	7	2, 0, 1, 0	13	3, 0, 1, 0	19
0, 1, 0, 0	2	1, 1, 0, 0	8	2, 1, 0, 0	14	3, 1, 0, 0	20
0, 1, 1, 0	3	1, 1, 1, 0	9	2, 1, 1, 0	15	3, 1, 1, 0	21
0, 2, 0, 0	4	1, 2, 0, 0	10	2, 2, 0, 0	16	3, 2, 0, 0	22
0, 2, 1, 0	5	1, 2, 1, 0	11	2, 2, 1, 0	17	3, 2, 1, 0	23

Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan

Suatu faktoradik bisa diperoleh dari sembarang bilangan

n

dengan algoritma sebagai berikut:

Cari $i!$ terbesar di mana $i! < n$
Bagi $n$ dengan $i!$ , akan didapatkan hasil bagi $d$ dan sisa bagi $m$ .
$d$ adalah digit faktoradik ke- $i$ , yaitu $a i$
Ulangi dari langkah kedua, dengan $m$ (sisa bagi) menggantikan $n$ , dan $i - 1$ menggantikan $i$ .
Algoritma selesai jika $i$ sudah mencapai 0.

Ketika berakhir, algoritma ini akan menghasilkan deretan faktoradik a_n...a₄a₃a₂a₁a₀.

Permutasi

Bilangan Inversi

Membentuk Permutasi berdasarkan Faktoradik

Pertama-tama kita harus membuat kesepakatan mengenai indeks. Indeks untuk untai dimulai dengan indeks 0 dari kiri.

Untai	a	b	c	d	e	f	g
Indeks	0	1	2	3	4	5	6

Disediakan sebuah untai

s

, dan sebuah faktoradik

f

, maka algoritma untuk menghasilkan sebuah permutasi dari

s

adalah:

Sediakan satu tempat, yaitu $s'$ untuk menampung untai hasil permutasi
Mulai dari digit f paling kiri (digit dengan indeks posisi paling besar):
- Ambil huruf dari $s$ di posisi $f i$ , pindahkan ke $s'$
Ulangi hingga tidak ada lagi huruf pada untai $s$

Ketika algoritma ini selesai,

s'

akan merupakan permutasi dari

s

yang sesuai dengan

f

Sebagai contoh, untuk menghasilkan permutasi dari abcdefg, dengan indeks faktoradik 5341200 dengan algoritma tersebut, diberikan:

$s = \mathbf{abcdefg}$

dan

f = (5,3,4,1,2,0,0)

Disediakan

s' = ε

(masih kosong).

Untai	a	b	c	d	e	f	g
Indeks	0	1	2	3	4	5	6

Pertama, mulai dari

f 6

, yaitu 5. Kemudian pindahkan huruf ke-5 (indeks 5) pada untai

s

ke untai

s'

, yaitu huruf f. Kondisi

s

dan

s'

sekarang menjadi $s = \mathbf{abcdeg}$ dan $s' = \mathbf{f}$
Dengan

s

sekarang menjadi:

Untai	a	b	c	d	e	g
Indeks	0	1	2	3	4	5

Bilangan kedua dari

f

, yaitu

f 5

adalah 3, maka pindahkan huruf ke-3 pada untai

s

ke untai

s'

. Maka kondisinya menjadi $s = \mathbf{abceg}$ dan $s' = \mathbf{fd}$

Untai	a	b	c	e	g
Indeks	0	1	2	4	6

Dan seterusnya, yang jika dituliskan sekaligus adalah seperti ini:

i	$f i$	$s$	$s'$
6	5	abcdeg	f
5	3	abceg	fd
4	4	abce	fdg
3	1	ace	fdgb
2	2	ac	fdgbe
1	0	c	fdgbea
0	0		fdgbeac

Kode-kode program

Kode program untuk membangkitkan faktoradik

Pascal

 FMax := CariFaktorialTerbesar(Bilangan);
 Sisa := Bilangan;
 for i := FMax downto 0 do
 begin
   f := Faktorial(i);
   A[i] := Sisa div f;
   Sisa := Sisa mod f;
 end;

Kode untuk membangkitkan permutasi dari faktoradik

Pascal

 function Permutasi(Untai: STRING; Faktoradik: array of INTEGER): STRING;
 var
   Hasil: STRING;
   i, Indeks: INTEGER;
 begin
   Hasil:=;
 
   for i:=Low(Faktoradik) to High(Faktoradik) do
   begin
     Indeks:=Faktoradik[i] + 1;       // Indeks ditambah 1 karena indeks array berawal dari 0
     Hasil:=Hasil + Untai[ Indeks ];
     Delete(Untai, Indeks, 1);
   end;
 
   Permutasi:=Hasil;
 end;

Faktoradik menggunakan pengali yang berbeda untuk setiap posisi bilangannya. Pengalinya adalah sesuai dengan faktorial posisinya.

$a_n,a_{n-1},...,a_2,a_1,a_0 = \sum^{n}_{i=0}a_i\times i!$

@rohM_roseDyana

Jumat, 23 September 2011

Sistem Bilangan

Sistem bilangan

Perhitungan

Sistem Numerik Berdasarkan Penambahan

Sistem Numerik Berdasarkan Posisi

Basis eksponen

Oktal

Heksadesimal

Konversi

Konversi dari heksadesimal ke desimal

Konversi dari desimal ke heksadesimal

Seksagesimal

Faktoradik

Faktoradik

Nilai faktoradik

Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan

Permutasi

Bilangan Inversi

Membentuk Permutasi berdasarkan Faktoradik

Kode-kode program

Kode program untuk membangkitkan faktoradik

Pascal

Kode untuk membangkitkan permutasi dari faktoradik

Pascal

Tidak ada komentar:

Daftar Blog Saya